摘要：微納米顆粒是生物膜流變的測量探針及藥物輸運的載體，研究微納米顆粒在膜上的流體力學阻力及擴散行為具有重要科學意義。已有研究針對嵌入膜內且與膜厚度相同的圓柱體（比擬單個磷脂/蛋白質分子）阻力係數開展研究，是一個二維流體力學問題。球形顆粒穿透膜伸入水相中，受力更加複雜。近幾年，有研究發現當微米顆粒在純水–空氣界麵上做布朗擴散時，阻力係數有分子熱運動引起的界麵擾動的貢獻，這部分阻力與表麵張力成正比。本論文在亞微米顆粒–單層生物膜界麵實驗中發現了類似現象。

考慮到生物膜與純水界麵的不同力學特性及亞微米顆粒尺度，本文對表麵張力進行了修正：一是加入膜的Maxwell黏彈性項，二是加入熱力學毛細波波數項，進而區分微觀分子納米尺度與宏觀尺度下表麵張力的不同。實驗結果表明：由阻力係數擬合得到的熱力學毛細波波長恰好等於膜內磷脂分子間的平均間距，符合界麵熱力學擾動理論的描述；此外，當顆粒與膜內微米磷脂凝聚區域粘連時，粘連體整體所受的阻力幾乎全部源自於凝聚區域，水相及膜內對顆粒施加的阻力貢獻極小。

引言

微納米顆粒在膜上的流體力學阻力與布朗擴散組成了界麵水動力學的基本模型係統。微納米顆粒布朗運動的擴散係數、阻力係數與膜的黏度、黏彈性等流變性質密切相關，因此微納米顆粒可作為生物膜流變性的測量探針。相比於剪切流變儀，單個粒子跟蹤測量方法具有頻率分布廣、靈敏度高等優勢。此外，將微納米顆粒作為生物膜藥物運輸的載體已成為一種新興醫療手段，廣泛應用於癌症等疾病治療。

nmε=r(μ1+μ2)/ηmf=4πηm/ln(2/εγ)D=kBT/f評估藥物輸運效率需清楚認識顆粒沿膜界麵的擴散運動機理及流體力學規律。最早關於顆粒在膜界麵上的水動力學理論由Saffman提出。Saffman討論了嵌入在膜內且與膜厚度相同的圓柱體阻力係數模型，作為膜內單個磷脂/蛋白質分子運動的水動力學模型。在水動力學和Staffman理論中，膜被視為無限大平麵鋪展的黏性液體，介於其他兩種液體界麵之間。

Navier–Stokes方程對膜內流場的刻畫有別於普通流體：首先，膜由一層或兩層磷脂分子構成，厚度為2～5，理論假設膜內垂直方向上的剪切速率與其他物理量的梯度為0，因此膜內流場問題是一個二維流體力學問題；其次，膜雖可被壓縮，但其壓應力波的波速遠大於顆粒布朗運動的速度，因此可近似視為不可壓縮流體。這些限製條件皆增加了求解顆粒阻力係數的難度。Saffman理論使用了2個條件（磷脂分子半徑極小；膜黏度遠大於液體黏度），忽略了兩側液體對圓柱體上下表麵施加的剪切力，得到了阻力係數關於顆粒無量綱尺寸的一階近似解析解，再由愛因斯坦關係可得到圓柱的擴散係數。

ηmγrkBTμ1μ2ε式中：為膜的二維黏度，代表了磷脂分子整個膜厚度的總體黏滯阻力效應，因此其單位在常規黏度單位的基礎上乘以了長度，即Pa·s·m；為歐拉常數；為圓柱半徑；為玻爾茲曼常數；為溫度；、分別為膜兩側液體的黏度。Saffman理論對於半徑大於膜厚度的顆粒（如半徑幾微米的磷脂凝聚顆粒）並不適用。Hughes等在Saffman理論基礎上加入了兩側液體對圓柱體上下表麵的切向力，即為HPW模型，進而討論了非無窮小下的阻力係數，但未給出解析解。Petrov等隨後給出了HPW模型較為準確的近似解析解，並擬合實驗測量的膜內凝聚區域的擴散係數，得到磷脂膜二維黏度的量級為10−10～10−9 Pa·s·m。ηmU/γm≪1UγmBo=1/εf(Bo)三維球形顆粒穿透膜浸入到液體中的受力問題，較膜內圓柱體二維受力問題更為複雜。Danov等數值計算了顆粒在膜上的運動，假設顆粒做布朗運動，毛細數（為顆粒速度，為膜表麵張力），膜未發生變形始終保持平展，計算中膜可視作可壓縮流體。

Fischer等改進了Danov的理論，將膜改正為不可壓縮流體，且在膜內流場中加入了表麵張力梯度項—Marangoni效應，給出了Boussinesq數極大與極小值的顆粒阻力係數漸進解。Stone等討論了單層膜係統（膜兩側分別為空氣與水），將球形顆粒受力分解為膜內接觸線阻力與水相浸沒阻力兩部分，前者即為Saffman理論或HPW模型得到的結果。Stone等利用理論分析的方法，以Saffman理論結果為零階值，給出了阻力係數關於顆粒浸沒率的一階近似解，與精確數值計算結果誤差小於5%。早期有實驗發現顆粒在單層膜上的布朗運動阻力係數明顯大於Fischer與Stone等的理論預測⟨FL(0)FL(t)⟩dtFLt值。

2015年，Boniello等提出了界麵顆粒布朗運動動力學理論，認為顆粒做布朗運動時，界麵在液體分子熱運動的作用下產生微小擾動進而發生變形，變形幅度僅為液麵單個分子尺寸，除水動力學的阻力外，顆粒還受到了來源於變形界麵的表麵張力。這種界麵擾動稱作“熱力學毛細波”。顆粒的總阻力係數，前者為水動力學阻力係數，後者為表麵張力阻力係數。結合熱力學擾動耗散定理，為顆粒受到的瞬時表麵張力，為時間。

fcBoniello的理論目前僅在純水界麵與幾十微米尺寸的顆粒實驗中得到驗證。本文實驗發現其同樣適用於亞微米顆粒實驗，但需考慮到單層膜具有與純水界麵不同的力學性質和亞微米尺度，二者皆體現在表麵張力上。首先，膜為黏彈性非牛頓流體，其液麵表麵張力需考慮黏彈性效應，尤其是在熱力學毛細波109 Hz量級高頻振蕩物理條件下；其次，微納米尺度下的表麵張力值通常不同於宏觀尺度下的值，表麵張力中含有額外熱力學毛細波波數項。

實驗結果顯示，在低密度、均勻相的膜上，由表麵張力阻力係數擬合得到的熱力學毛細波波長約等於膜內磷脂分子間的平均間距，符合界麵熱力學擾動理論的描述。在高密度、相分離的膜上，顆粒與微米凝聚相粘連，粘連體整體所受阻力幾乎全部源自於微米凝聚相。